Question

15．计算：[$\frac{（0+3）×（0+4）}{（0+1）×（0+2）}$]+[$\frac{（1+3）×（1+4）}{（1+1）×（1+2）}$]+[$\frac{（2+3）×（2+4）}{（2+1）×（2+2）}$]+…+[$\frac{（2016+3）×（2016+4）}{（2016+1）×（2016+2）}$]=2026．
（其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[3.2]=3，[6]=6）

Answer 1

分析 先写出前几项的结果，再根据数列的函数特征得到后面的结果，问题得以解决．

解答 解：[$\frac{（0+3）×（0+4）}{（0+1）×（0+2）}$]=6，[$\frac{（1+3）×（1+4）}{（1+1）×（1+2）}$]=[$\frac{10}{3}$]=3，[$\frac{（2+3）×（2+4）}{（2+1）×（2+2）}$]=[$\frac{5}{2}$]=2，[$\frac{（3+3）（3+4）}{（3+1）（3+2）}$]=[2.1]=2，[$\frac{（4+3）（4+4）}{（4+1）（4+2）}$]=[$\frac{28}{15}$]=1，
由于数列$\frac{（n+3）（n+4）}{（n+1）（n+2）}$为递减数列，且$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（n+3）（n+4）}{（n+1）（n+2）}$=1，
[$\frac{（2016+3）×（2016+4）}{（2016+1）×（2016+2）}$]=1，
∴[$\frac{（0+3）×（0+4）}{（0+1）×（0+2）}$]+[$\frac{（1+3）×（1+4）}{（1+1）×（1+2）}$]+[$\frac{（2+3）×（2+4）}{（2+1）×（2+2）}$]+…+[$\frac{（2016+3）×（2016+4）}{（2016+1）×（2016+2）}$]=6+3+2+2+$\underset{\underbrace{1+1+…+1}}{2013个}$=13+2013=2026，
故答案为：2026

点评 本题考查了数列的数列的函数特征和新定义的应用，属于中档题．