Question

5．已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*）．我们把使乘积a₁•a₂•a₃•…•a_n为整数的数n叫做“完美数”，则在区间（1，2016）内的所有完美数的和为（　　）

• A． 1024
• B． 2003
• C． 2026
• D． 2048

Answer 1

分析 a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），当n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊时，n称为完美数，在区间（1，2016）中找出所有的完美数之后用数列的求和公式进行计算．

解答 解：∵a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），
当n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊时，n称为完美数，
在区间（1，2016）内的完美数为2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2ⁿ-2，当2ⁿ-2≤2016时，n≤10．
∴在区间（1，2016）内所有的完美数的和S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+2⁴+…2¹⁰）-18
=$\frac{{2}^{2}×（1-{2}^{9}）}{1-2}$-18=2026，
故选：C．

点评 本题考查了对数的运算性质，考查了数列和的求法，把a₁•a₂…a_n化简转化为对数的运算是解答的关键，体现了转化的思想，属中档题．