Question

17．在△ABC中，a²+c²=b²-ac．
（1）求∠B 的大小；
（2）求cosA+cosC 的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可得出．
（2）利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由已知得：$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=-\frac{1}{2}$．
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）知：$A+C=\frac{π}{3}$，
故$A=\frac{π}{3}-C，0＜C＜\frac{π}{3}$．
∴$cosA+cosC=cos（{\frac{π}{3}-C}）+cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinC+\frac{3}{2}cosC$=$\sqrt{3}sin（{C+\frac{π}{3}}）$，
∵$0＜C＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜sin（C+\frac{π}{3}）≤1$，∴$\frac{3}{2}＜cosA+cosC≤\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．