Question

15．设{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，S_n、T_n分别是数列{a_n}、{b_n}的前n项和，若a₃=b₃，a₄=b₄，且$\frac{{S}_{5}-{S}_{3}}{{T}_{4}-{T}_{2}}$=7，则$\frac{{a}_{5}}{{b}_{3}+{b}_{6}}$的值为$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，利用条件求出d，q，代入可得结论．

解答 解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则
∵a₃=b₃，a₄=b₄，
∴a₃+d=b₃q，q=$\frac{{a}_{3}+d}{{b}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}+d}{{a}_{3}}$，
∵$\frac{{S}_{5}-{S}_{3}}{{T}_{4}-{T}_{2}}$=7，
∴2a₃+3d=7b₃（1+q），
∴2a₃+3d=7a₃（1+$\frac{{a}_{3}+d}{{a}_{3}}$），
∴d=-3a₃，∴q=-2，
∴$\frac{{a}_{5}}{{b}_{3}+{b}_{6}}$=$\frac{{a}_{3}+2d}{{b}_{3}+{b}_{3}{q}^{3}}=\frac{-5{a}_{3}}{-7{b}_{3}}=\frac{5}{7}$．
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查学生的计算能力，正确运用通项公式是关键，是基础题．