Question

已知f（x）是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，如果直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个交点，则实数a的值是？

Answer 1

分析：根据函数的性质，做出函数图象，数形结合，找到恰好有两个交点的两种情况，再根据周期性即可写出正确答案

解答：解：∵原函数是偶函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x²
∴当-1≤x≤0时，0≤-x≤1
∴f（-x）=（-x）²
又∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）
∴当-1≤x≤0时，f（x）=x²
∴当-1≤x≤1时，f（x）=x²
又∵原函数周期为2
∴刻画出原函数图象如图：

∴直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个交点，有两种情况
（1）当直线过（0，0）和点（1，1）时，直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个交点
∴a=0
由周期性的a=2k（k∈Z）
（2）当直线与曲线相切时：当0≤x≤1时，f（x）=x²

y=x2 y=x+a

∴x²-x-a=0
由题意知△=1+4a=0
∴a= -

1

4

由周期性知a=2k-

1

4

（k∈Z）
∴a=2k或a=2k-

1

4

(k∈Z)

点评：本题考查函数的性质和零点的相关知识，