Question

（选修4-2 矩阵与变换）已知二阶矩阵M有特征值λ=6及对应的一个特征向量e₁=，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e₂的坐标之间的关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设矩阵 ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=6及对应的一个特征向量e₁及矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，从而求得另一个特征值为2，设矩阵M的另一个特征向量是e₂=，解得特征向量e₂的坐标之间的关系．
解答：解：（1）设矩阵 ，这里a，b，c，d∈R，
则=6=，故
=，故
联立以上两方程组解得a=，b=，c=，d=，故M=．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，故其另一个特征值为2，
设矩阵M的另一个特征向量是e₂=，则Me₂==2，解得2x+y=0
点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．