Question

12．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=n+1，则数列$\left\{{\frac{2}{a_n}}\right\}$的前10项的和为$\frac{40}{11}$．

Answer 1

分析 a_n+1-a_n=n+1，可得n≥2时，a_n-a_n-1=n，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得a_n．再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n=n+1，
∴n≥2时，a_n-a_n-1=n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
当n=1时上式也成立．
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列$\left\{{\frac{2}{a_n}}\right\}$的前n项的和S_n=$4[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$4（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{4n}{n+1}$．
当n=10时，S₁₀=$\frac{40}{11}$．
故答案为：$\frac{40}{11}$．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．