Question

20．函数f（x）=cos2x-cosx+1在$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$上的值域为$[-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}+\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 利用余弦的倍角公式，将函数转化，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．

解答 解：∵y=cos2x-2cosx+1
=2cos²x-2cosx
=2（cosx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，x∈$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，cosx∈$[-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}]$
∴当cosx=$\frac{1}{2}$时，y取得最小值-$\frac{1}{2}$，
当cosx=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$时，y取得最大值$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$，
故-$\frac{1}{2}$≤y≤$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$，
即函数的值域为[$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$]．
故答案为：$[-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}+\sqrt{3}]$．

点评 本题主要考查函数的值域的计算，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，本题也可以使用换元法．