Question

7．已知函数f（x）=log_b$\frac{x}{a}$（b＞0，b≠1）的图象过点A$（\frac{1}{4}，4）$，B（1，5），设a_n=f（4ⁿ）+log_ba²，S_n为{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）解关于n的不等式a_nS_n≤0；
（Ⅱ）设b_n=2a_nS_n+2n²（n∈N^*），求b_n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据A与B的坐标，列出方程组，求出a与b，确定出f（x），进而列出不等式a_nS_n≤0，求出解集即可；
（Ⅱ）根据题意确定出b_n+1-b_n，令其中大于0求出n的范围，得到b_n+1＞b_n与b_n+1＜b_n时，n的范围，即可确定出b_n的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{4}）=lo{g}_{b}\frac{1}{4}-lo{g}_{b}a=4}\\{f（1）=lo{g}_{b}1-lo{g}_{b}a=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{{2}^{10}}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴f（x）=log₄$\frac{x}{\frac{1}{{2}^{10}}}$=log₄（2¹⁰x），即a_n=f（4ⁿ）+log_ba²=5+n-10=n-5，
∴S_n=$\frac{n（n-9）}{2}$，
∴a_nS_n=$\frac{n（n-5）（n-9）}{2}$≤0，
得不等式的解集为{5，6，7，8，9，}；
（Ⅱ）b_n=2a_nS_n+2n²=n（n-5）（n-9）+2n²=n³-12n²+45n，
b_n+1-b_n=（n+1）³-12（n+1）²+45（n+1）-n³+12n²-45n=3n²-21n+34，
令3n²-21n+34＞0，解得：n＞$\frac{21+\sqrt{33}}{6}$或n＜$\frac{21-\sqrt{33}}{6}$，
由n为正整数，得到n≤2或n≥5时，b_n+1＞b_n；2＜n＜5时，b_n+1＜b_n，
∴b₁＜b₂＞b₃＞b₄＞b₅＜b₆＜b₇＜…，
∴b₁=34，b₅=50，
则b_n的最小值为b₁=34．

点评 此题考查了数列的求和，对数的运算性质，熟练掌握数列的性质是解本题的关键．