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    【题目】如图，椭圆的离心率为，以椭圆的上顶点为圆心作圆，

    ，圆与椭圆在第一象限交于点,在第二象限交于点.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）求的最小值，并求出此时圆的方程；

    （3）设点是椭圆上异于的一点，且直线分别与轴交于点为坐标原点，求证:

    为定值.

    【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

    【解析】试题分析：（1）依据题设条件求出参数即可；（2）依据题设条件及向量的数量积公式建立目标函数，再借助该函数取得最小值时求出圆的方程；（3）借助直线与椭圆的位置关系进行分析推证：

    试题解析：

    (1) 由题意知， ,得.

    故椭圆的方程为.

    (2) 点与点关于轴对称，设，由点椭圆上，则,得

    .由题意知， ,当时， 取得最小值.此时， ，故.又点在圆上，代入圆的方程，得.

    故圆的方程为.

    （3）设，则的方程为.令，得.同理可得， . 故. ①

    都在椭圆上， ,代入①得， .即得为定值.

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