Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数在定义域上的单调性；

（2）令函数，是自然对数的底数，若函数有且只有一个零点，判断与的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当或时，在上单调递增, 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；（2）.

【解析】

（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）根据函数的单调性求出在上有唯一零点，由已知函数有且仅有一个零点，则，得，令，故，利用导数研究函数的单调性，求出零点的分布情况，从而可求出的取值范围即可.

（1）由已知，且,

①当时，即当时，,

则函数在上单调递增.

②当时，即或时，有两个根，

，因为，所以,

1°当时，令，解得,

当或时，函数在上单调递增,

2°当时，令，，

解得,

当时，函数在上单调递减，

在上单调递增；

3°当时，令，解得,

当时，函数在上单调递减.

（2）函数,

则,

则，所以在上单调增,

当，所以

所以在上有唯一零点,

当，所以为的最小值

由已知函数有且只有一个零点，则

所以则

则，得,

令，所以

则，所以,

所以在单调递减，

因为,

所以在上有一个零点，在无零点,

所以 .