Question

【题目】设椭圆的离心率，抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作两条斜率都存在的直线，设与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，若是与的等比中项，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出抛物线的焦点可得，再根据离心率求得，从而可得，进而可得结果；（2）先利用勾股定理证明，可设直线，直线，分别与椭圆方程联立，根据韦达定理，两点间距离公式求得 ，化为，利用基本不等式求解即可.

（1）依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为，即，

又，

所以，，故椭圆C的标准方程为.

（2）因为是与的等比中项，

所以，即，

所以直线，

又直线，的斜率均存在，

所以两直线的斜率都不为零，

故可设直线，直线，

，，，，

由消去x，得，

所以，

同理得,

所以，

,

,

又，所以

（当且仅当时取等号），

故的最小值为.