Question

已知f（x）是定义在R上连续的偶函数，f（x）的图象向右平移一个单位长度又得到一个奇函数，且f（2）=-1．则f（8）+f（9）+f（10）+…+f（2012）=

1

．

Answer 1

分析：由题意知偶函数f（x）的关系式f（x）=f（-x），又得f（x+1）=f（-x-1），f（x）在右移之前有对称中心（-1，0），故函数f（x）存在周期T=4，在利用题中的条件得到函数在一个周期内的数值，利用周期性即可求解．

解答：解：∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x） 用x+1换x，即f（x+1）=f（-x-1）①
∵将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，
∴函数f（x）的图象的对称中心（-1，0），有f（-1）=0，且f（-1-x）=-f（-1+x）  ②
∴由①②得f（x+1）=-f（-1+x），可得f（x+2）=-f（x），得到f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）存在周期T=4，
∵f（2）=-1，f（-1）=0，
利用条件可以推得：f（-1）=f（1）=0，f（2）=-1=-f（0），f（3）=f（4-1）=0，
f（-3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=1，
所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
∴f（8）+f（9）+f（10）+…+f（2012）=f（8）=f（4）=1．
故答案为：1．

点评：此题考查了利用函数的对称性及奇偶性找到函数的周期，深刻理解以上性质是解决问题的关键，再利用已知的条件求出一个周期内的函数值．