Question

（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，.

（I）求证：平面平面；

（II）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）证明：见解析

（II）二面角的余弦值为 

【解析】本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。

（1）根据已知条件找到线面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其证明。

（2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标和向量的坐标，借助于平面的法向量，得到向量的夹角，从而得到二面角的平面角的大小。

（I）证明：取的中点，连接

    

     为等腰直角三角形

     ……………………………………2分

     又

     是等边三角形

     ，又

     ，…………………………4分

     ，又

     平面平面;……………………………………6分

（II）以中点为坐标原点，以所在直线为轴,所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则

 ……………………8分

设平面的法向量

，即，解得 ，

   

设平面的法向量

，即，解得，

…………………………………………………………10分

所以二面角的余弦值为   …………………………12分