Question

(本小题满分12分）

已知直线l1:4x:-3y+6=0和直线l2x=-p/2:.若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.

(I )求抛物线C的方程；

(II)若以拋物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存 在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 即在x轴上存在定点Q（1,0）在以MN为直径的圆上

【解析】

试题分析：解: （Ⅰ）由定义知为抛物线的准线，抛物线焦点坐标

由抛物线定义知抛物线上点到直线的距离等于其到焦点F的距离.

所以抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点F到直线的距离.…………2分

所以，则=2,所以，抛物线方程为.………………4分

（Ⅱ）设M，由题意知直线斜率存在，设为k,且,所以直线方程为,

代入消x得：

由………………6分

所以直线方程为，令x=-1,又由得

设则

由题意知……………8分

，把代入左式,

得：，……………10分

因为对任意的等式恒成立，

所以

所以即在x轴上存在定点Q（1,0）在以MN为直径的圆上.……………12分

考点：本试题考查了抛物线的知识点。

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系的考查，一般采用设而不求的联立方程组的思想来求解，结合韦达定理，和向量的数量积公式，来得到坐标之间的关系式，然后求解证明结论。对于点是否在圆上的问题，可以通过向量的数量积垂直来说明即可，中档题。