Question

19．讨论此函数的单调性：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx．

Answer 1

分析 求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）的单调性与单调区间．

解答 解：由题意得，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（1+a）+x=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a
①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜a或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
②当a=1时，f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；
③当a＞1时，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞a；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜a
∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）；
④a≤0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．

点评 本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，利用导数的正负确定函数的单调性是关键．