解: (I)f′(x)=3ax
2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,
即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x
3-3x.
(II)∵f(x)=x
3-3x,∴f′(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1),
当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数,
f
max(x)=f(-1)=2,f
min(x)=f(1)=-2
∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x
1,x
2,
都有|f(x
1)-f(x
2)|≤|f
max(x) -f
min(x)|
|f(x
1)-f(x
2)|≤|f
max(x)-f
min(x)|=2-(-2)=4
(III)f′(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲线方程为y=x
3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上.
设切点为M(x
0,y
0),则点M的坐标满足
因
,故切线的斜率为
,
整理得
.
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,
∴关于x
0方程
=0有三个实根.
设g(x
0)=
,则g′(x
0)=6
,
由g′
(x
0)=0,得x
0=0或x
0=1.
∴g(x
0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
∴函数g(x
0)=
的极值点为x
0=0,x
0=1
∴关于x
0方程
=0有三个实根的充要条件是
,解得-3<m<-2.
故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.