Question

6．已知sin（π-α）-cos（π+α）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，其中0＜α＜π，求tanα的值．

Answer 1

分析 利用诱导公式可求sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得解得2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，结合范围0＜α＜π，可求sinα-cosα=$\sqrt{1-2sinαcosα}$=$\frac{4}{3}$，联立解方程即可得解．

解答 解：∵sin（π-α）-cos（π+α）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$①，
∴两边平方可得：1+2sinαcosα=$\frac{2}{9}$，即：2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，
∵0＜α＜π，sinα＞0，可得：cosα＜0，sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=$\sqrt{1-2sinαcosα}$=$\frac{4}{3}$②，
∴联立①②可得：sinα=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$，cosα=$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$，
∴解得：tanα=-$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．