Question

8．（1）求函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$]的定义域
（2）求函数y=tan²x-4tanx+3，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）转化为不等式sin（2x$+\frac{π}{4}$）$＞-\frac{\sqrt{2}}{2}$，求解即可2kπ$-\frac{π}{4}$$＜2x+\frac{π}{4}$＜2kπ$+\frac{5π}{4}$，k∈z
（2）求解得出1≤tanx$≤\sqrt{3}$，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，利用换元法转化为二次函数求解．

解答 解：（1）∵函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$]
∴2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$＞0，
sin（2x$+\frac{π}{4}$）$＞-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即2kπ$-\frac{π}{4}$$＜2x+\frac{π}{4}$＜2kπ$+\frac{5π}{4}$，k∈z
∴函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$]的定义域：{x|2kπ$-\frac{π}{4}$$＜2x+\frac{π}{4}$＜2kπ$+\frac{5π}{4}$，k∈z}
（2）∵1≤tanx$≤\sqrt{3}$，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴y=t²-4t+3，t∈[1，$\sqrt{3}$]
∴y_大=1-4+3=0，y_小=3-4$\sqrt{3}+3$=6-4$\sqrt{3}$．
∴值域：[6-4$\sqrt{3}$，0]

点评 本题考查了三角函数，二次函数的单调性，求解函数的最大值，最小值问题，属于中档题．