Question

有下列叙述

①集合A=（m+2，2m﹣1）⊆B=（4，5），则m∈[2，3]

②两向量平行，那么两向量的方向一定相同或者相反

③若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是————————————

④对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊕如下：

当m，n奇偶性相同时，m⊕n=m+n；当m，n奇偶性不同时，m⊕n=mn，在此定义下，集合M={（a，b）|a⊕b=12，a∈N⁺，b∈N⁺}中元素的个数是15个．

上述说法正确的是　　．

Answer 1

考点：

平行向量与共线向量；集合的包含关系判断及应用．

专题：

平面向量及应用．

分析：

①A=∅，m+2≥2m﹣1，解得m≤3，因此不正确；

②零向量与任何向量平行，故不正确；

③当n为偶数时，原不等式可化为；

当n为奇数时，原不等式可化为，即可得到实数a的取值范围；

④当a与b的奇偶性相同时，（a，b）可取（1，11），（2，10），…（11，1）共11个；

．当a与b的奇偶性不相同时，（a，b）可取（1，12），（12，1），（3，4），（4，3）即可判断出．

解答：

解：①∵集合A=（m+2，2m﹣1）⊆B=（4，5），∴，解得m∈[2，3]；或m+2≥2m﹣1，解得m≤3，综上可知：m≤3，故不正确；

②因为零向量与任何向量平行，故不正确；

③当n为偶数时，原不等式可化为，∴a，即a＜；

当n为奇数时，原不等式可化为，即，∴a≥﹣2．

综上可知：实数a的取值范围是，因此正确；

④当a与b的奇偶性相同时，（a，b）可取（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），（6，6），（7，5），（8，4），（9，3），（10，2），（11，1）共11个；

．当a与b的奇偶性不相同时，（a，b）可取（1，12），（12，1），（3，4），（4，3）．

综上可知：集合M={（a，b）|a⊕b=12，a∈N⁺，b∈N⁺}中元素的个数是15个，因此正确．

故正确的答案为③④．

故答案为③④．

点评：

熟练掌握集合间的关系、分类讨论思想方法、向量共线、新定义的意义等是解题的关键．