Question

已知向量

m

=(sinA，

1

2

)与

n

=(3，sinA+

3

cosA)共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量

m

=(sinA，

1

2

)与

n

=(3，sinA+

3

cosA)共线，可得sinA（sinA+

3

cosA）-

3

2

=0，利用辅助角公式化简，结合A∈（0，π），即可求得A的值；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，再利用三角形的面积公式，即可求得△ABC面积S的最大值．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinA，

1

2

)与

n

=(3，sinA+

3

cosA)共线，
∴sinA（sinA+

3

cosA）-

3

2

=0
∴

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=1
∴sin（2A-

π

6

）=1
∵A∈（0，π），∴2A-

π

6

∈(-

π

6

，

11π

6

)
∴2A-

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

（2）∵BC=2，∴b²+c²-bc=4
∵b²+c²≥2bc，∴bc≤4（当且仅当b=c时等号成立）
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

∴△ABC面积S的最大值为

3

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查余弦定理的而运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确化简函数．