Question

【题目】已知椭圆与抛物线y2＝x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析:(1)先求椭圆焦点得c，再根据离心率列方程组可得a＝2，b2＝2 (2)将OP视为底，根据三角形面积公式得S＝ |OP|·|x1－x2|，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得|x1－x2|，最后根据解出k，代入解得△AOB的面积．

试题解析：解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意可得c＝，又e＝＝，∴a＝2.

∴b2＝a2－c2＝2，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由＝2，得

设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得

(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，

∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－.

将x1＝－2x2代入上式整理可得， 2＝，

解得k2＝.

∴△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|

＝＝·＝.