Question

3．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC′F所截而得到的，其中AB=BC=CC′=3，BE=1．
（Ⅰ）求证：四边形AEC′F是平行四边形；
（Ⅱ）求几何体ABCDEC′F的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面平行的性质定理得出AE∥C′F，AF∥C′E，故四边形AEC′F是平行四边形；
（Ⅱ）将几何体补成正方体，则几何体的体积为正方体体积的一半．

解答 证明：（Ⅰ）∵平面ABE∥平面DCC′F，平面AEC′F∩平面ABE=AE，平面AEC′F∩平面DCC′F=C′F，
∴AE∥C′F，
同理可得AF∥C′E，
∴四边形AEC′F是平行四边形．
（Ⅱ）将几何体补成棱长为3的正方体，
∴几何体ABCDEC'F的体积V=$\frac{1}{2}$V_正方体=$\frac{1}{2}$×3³=$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了面面平行的性质，几何体的体积计算，属于中档题．