Question

10．若（3x+$\frac{1}{x}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则函数f（x）=（3x+$\frac{1}{x}$）ⁿ在（0，+∞）上的最小值为（　　）

• A． 144
• B． 256
• C． 24$\sqrt{3}$
• D． 64$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意求得S和 P的值，根据P+S=272求得n的值，再利用基本不等式求得函数f（x）的最小值．

解答 解：由题意可得P=4ⁿ，S=2ⁿ，
∴P+S=4ⁿ+2ⁿ=272，解得2ⁿ=16，
∴n=4，
在（0，+∞）上，
函数f（x）=（3x+$\frac{1}{x}$）ⁿ =（3x+$\frac{1}{x}$）⁴≥${（2\sqrt{3}）}^{4}$=144，当且仅当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，等号成立，
故函数f（x）=（3x+$\frac{1}{x}$）ⁿ在（0，+∞）上的最小值为144，
故选：A．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，基本不等式的应用，属于基础题．