Question

已知F是双曲线的右焦点

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点，点A，B分别在其两条渐进线上，且满足

BF

=2

FA

，

OA

•

AB

=0（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出直线AB的方程与渐进线方程联立，可得A，B的纵坐标，利用

BF

=2

FA

，可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：由题意，k_OA=-

b

a

，
∵

OA

•

AB

=0，
∴k_AB=

a

b

，
∴直线AB的方程为y=

a

b

（x-c），
与y=±

b

a

x联立可得y=-

ab

c

或y=

abc

a2-b2

，
∵

BF

=2

FA

，
∴

c2

a2-b2

=2，
∴c²=2（2a²-c²），
∴e=

c

a

=

2 3

3

．
故答案为：

2 3

3

．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．