Question

【题目】关于函数，给出以下四个命题，其中真命题的序号是_______.

①时，单调递减且没有最值；

②方程一定有解；

③如果方程有解，则解的个数一定是偶数；

④是偶函数且有最小值.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

①将函数表示为分段函数，结合分式型函数的单调性进行判断；②由函数是偶函数，在且时，判定函数与函数在时有唯一交点，同理得出，当且时，函数与函数在时有交点，从而可得方程有解；③求方程的解，即可判断出命题③的正误；④利用偶函数的定义判定函数为偶函数，再利用绝对值的性质得出且，即可判断出命题④的正误.

对于命题①，当时，.

当时，，则函数在上单调递增，此时，，当时，，

当时，，则函数在上单调递减，

所以，当时，函数不单调且没有最值，命题①错误；

对于命题②，当时，，当时，，

当时，构造函数，

则函数在上单调递增，

当时，，当时，，

所以，函数在上有且只有一个零点，

即当时，方程在上有解.

函数的定义域为，关于原点对称，，则函数为偶函数，

同理可知，当时，方程在上有解.

所以，命题②正确；

对于命题③，当时，令，解得，则命题③错误；

对于命题④，由②可知，函数是偶函数，由绝对值的性质可知且，则函数为偶函数且最小值为，命题④正确.

因此，正确命题的序号为②④.

故答案为：②④.