Question

【题目】已知三棱锥如图的展开图如图2,其中四边形ABCD为边长等于的正方形,和均为正三角形．

(1)证明：平面平面ABC；

(2)若M是PC的中点,点N在线段PA上,且满足,求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；(2).

【解析】

利用等腰三角形的三线合一的性质、勾股定理的逆定理,利用线面垂直来证面面垂直；

建立空间直角坐标系,利用向量法来求直线与平面所成的角.

解：取AC的中点O,连接OP,OB,则有

且O为AC的中点,；同理,．

平面POB，则有为平面的平面角，

又在中，,,则有,

平面平面ABC．

由可知，平面ABC，则有，，又，所以，建立如右图所示的空间直角坐标系．

则有,,0，,1，,0，,0，,

是PC的中点,,又,,

设平面PAB的一个法向量为,则有,,

设直线MN与平面PAB所成角为,．

故直线MN与平面PAB所成角的正弦值为．