Question

【题目】底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可；

（2）建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量与平面的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.

（1）证明：连接，由平行且相等，可知四边形为平行四边形，所以.

由题意易知，，所以，，

因为，所以平面，

又平面，所以.

（2）设，，由已知可得：平面平面，

所以，同理可得：，所以四边形为平行四边形，

所以为的中点，为的中点，所以平行且相等，从而平面，

又，所以，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，

，，由平面几何知识，得.

则，，，，

所以，，.

设平面的法向量为，由，可得，

令，则，，所以.同理，平面的一个法向量为.

设平面与平面所成角为，

则，所以.