Question

(Ⅰ)设a＞0且a≠1，求函数f(x)=(a^x+0)-(x∈(1，+∞))的最小值；

(Ⅱ)设x、y均为正实数，证明不等式：(x+y)ln≤xlnx+ylny.

Answer 1

解:(Ⅰ)解法一:

因为a^x＞0,a＞0,所以中 

当且仅当a^x=a,即x=1时,上式等号成立,

所以f(x)≥0对任意的x∈恒成立,

所以,当且仅当x=1时,f(x)取最小值 

解法二:

(x)= 

当x＞1时,x＞成立

若a＞1,则lna＞0,a^x-＞0;

若0＜a＜1,则lna＜0,a^x-＜0.所以(x)＞0

即函数f(x)在(1,+∞)上单调递增 

又f(1)=0, 所以[f(x)]_min=f(1)=0. 

(Ⅱ)证明:

①当x=y时,(x+y)ln=xlnx+ylny 

②当x≠y时,不失一般性,设x＞y＞0并取y=m,则x∈(m,+∞).

设g(x)=xlnx+ylny-(x+y)ln

即g(x)=xlnx-(x+m)ln+mlnm,x∈(m,+∞)

(x)=lnx+1-(ln+·)

=lnx-ln=ln 

因为2x＞x+m＞0  所以＞1

所以(x)=ln＞0

所以g(x)在(m,+∞)上单调递增

又g(m)=0

所以g(x)＞0,即xlnx-(x+m)ln+mlnm＞0

所以(x+m)ln＜xlnx+mlnm 

即(x+y)ln＜xlnx+ylny.

综合①,②,有不等式

(x+y)ln≤xlnx+ylny成立