Question

已知函数f(x)=

x2-a(a+2)x

x+1

（a≥0）．
（I）当a=1时，求f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可求出切线的方程；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，通过对a分类讨论得出其单调性，进而即可求出其最小值．

解答：解：（I） 当a=1时，f(x)=

x2-3x

x+1

，∴f′(x)=

x2+2x-3

(x+1)2

，f（3）=0，
∴f（x）在点（3，f（3））处的切线的斜率f^′（3）=

3

4

，切点（3，0），
因此其切线方程为y=

3

4

(x-3)，即3x-4y-9=0．
（ II）x≠-1，f′(x)=

x2+2x-a(a+2)

(x+1)2

=

[x+(a+2)](x-a)

(x+1)2

，
①当a=0时，在（0，2]上导函数f′(x)=

x2+2x

(x+1)2

＞0，所以f（x）在[0，2]上递增，可得f（x）的最小值为f（0）=0；
②当0＜a＜2时，导函数f'（x）的符号如下表所示

x	[0，a）	a	（a，2]
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以f（x）的最小值为f(a)=

a2-a2(a+2)

a+1

=-a2；
③当a≥2时，在[0，2）上导函数f'（x）＜0，∴f（x）在[0，2]上递减，
∴f（x）的最小值为f(2)=

4-2a(a+2)

3

=-

2

3

a2-

4

3

a+

4

3

．
综上可知：①当a=0时，f（x）的最小值为f（0）=0；
②当0＜a＜2时，f（x）的最小值为f（a）=-a²；
③当a≥2时，f（x）的最小值为f（2）=-

2

3

a2-

4

3

a+

4

3

．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的最值的方法及其几何意义、分类讨论的思想方法是解题的关键．