Question

18．一个水池有若干进水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池，如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭这个水龙头放水多长时间？

Answer 1

分析 设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x₁，x₂，…x_n，则根据条件可得数列{x_n}成等差数列，根据数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x₁，x₂，…x_n，
由已知x₂-x₁=x₃-x₂=…=x_n-x_n-1，
∴数列{x_n}成等差数列，
每个水龙头1min，放水$\frac{1}{24n}$，（设水池的容积为1），
∴$\frac{1}{24n}$•（x₁+x₂+…+x_n）=1，
即S_n=24n，
∴$\frac{n（{x}_{1}+{x}_{n}）}{2}$=24n，
∴x₁+x_n=48，
∵x_n=5x₁，
∴6x₁=48，
则x₁=8（min），x_n=40（min），
故最后关水龙头的放水40min．

点评 本题主要考查函数的应用问题，明确条件和问题之间的数量关系，建立相应的数学模型，利用等差数列这一数学模型是解决本题的关键．