Question

【题目】如图空间几何体中，与，均为边长为的等边三角形，平面平面，平面平面．

（1）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）

【解析】

（1）分别取，中点，，，连接，，，，，可得面，面，，结合已知，即可求得答案；

（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，求得面的法向量和面的法向量，根据，即可求得答案.

（1）分别取，中点，，，连接，，，，

面面且交于，面，

面

面面且交于，面，

面，

由，

面，

，

由，

面

由，

面面

当在直线上运动时，面

直线是所求直线．且，

四边形是平行四边形

（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系

由面，

面的法向量可取．

点，点，点，点

可得：，，

设面的法向量

由，可得

可取

设二面角的平面角为，据判断其为锐角

．