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    已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=
    p2
    于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．
    （1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
    （2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．
    分析：（1）设A(x1，
    x12
    2p
    )    ，则A处的切线方程为l1：y=
    x1
    p
    x-
    x12
    2p
    ，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用两点间的距离概率及点A满足抛物线的方程即可得出．
    （2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为y=
    x2
    2
    x-
    x22
    4
    ，与切线l1的方程联立即可得到点P的坐标，同理求出点M，N的坐标．进而得到三角形PMN的面积S△=
    1
    2
    |MN|•h    （h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x1的值．
    解答：解：（1）设A(x1，
    x12
    2p
    )    ，则A处的切线方程为l1：y=
    x1
    p
    x-
    x12
    2p
    ，
    可得：D(
    x1
    2
    ，0)    ，Q(0，-
    x
    2
    1
    2p
    )
    ∴|FQ|=
    p
    2
    +
    x
    2
    1
    2p
    =|AF|    ；
    ∴△AFQ为等腰三角形．
    由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，
    ∴|AF|=4，得：
    p
    2
    +
    x
    2
    1
    2p
    =4
    x
    2
    1
    +p2=16

    ∴p=2，C：x2=4y．
    （2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为y=
    x2
    2
    x-
    x22
    4

    联立
    y=
    x2
    2
    x-
    x
    2
    2
    4
    y=
    x1
    2
    x-
    x
    2
    1
    4
    得到点P(
    x1+x2
    2
    ，
    x1x2
    4
    )    ，联立
    y=
    x1
    2
    x-
    x
    2
    1
    4
    y=1
    得到点M(
    x1
    2
    +
    2
    x1
    ，1)    ．
    同理N(
    x2
    2
    +
    2
    x2
    ，1)    ，
    设h为点P到MN的距离，则S△=
    1
    2
    |MN|•h    =
    1
    2
    ×(
    x1
    2
    +
    2
    x1
    -
    x2
    2
    -
    2
    x2
    )(1-
    x1x2
    4
    )    =
    (x2-x1)(4-x1x2)2
    16x1x2
      ①

    设AB的方程为y=kx+b，则b＞0，
    由
    y=kx+b
    x2=4y
    得到x2-4kx-4b=0，
    得
    x1+x2=4k
    x1x2=-4b
    代入①得：S△=
    		16k2+16b
    (4+4b)2
    64b
    =
    (1+b)2
    		k2+b
    b
    ，
    要使面积最小，则应k=0，得到S△=
    (1+b)2
    		b
    b
    ②
    令
    		b
    =t    ，得S△(t)=
    (1+t2)2
    t
    =t3+2t+
    1
    t
    ，则
    S
    ′
    △
    (t)    =
    (3t2-1)(t2+1)
    t2
    ，
    所以当t∈(0，
    		3
    3
    )    时，S（t）单调递减；当t∈(
    		3
    3
    ，+∞)    时，S（t）单调递增，
    所以当t=
    		3
    3
    时，S取到最小值为
    16
    		3
    9
    ，此时b=t2=
    1
    3
    ，k=0，
    所以y1=
    1
    3
    ，解得x1=
    2
    		3
    3
    ．
    故△PMN面积取得最小值时的x1值为
    2
    		3
    3
    ．
    点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为
    12
    ．
    （1）试求抛物线C的方程；
    （2）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=
    12
    y    和定点P（1，2），A、B为抛物线C上的两个动点，且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数．
    （I）求证：直线AB的斜率是定值；
    （II）若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点M，求M的轨迹方程；
    （III）若A′与A关于y轴成轴对称，求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=2py，过点A（0，4）的直线l交抛物线C于M，N两点，且OM⊥ON．
    （1）求抛物线C的方程；
    （2）过点N作y轴的平行线与直线y=-4相交于点Q，若△MNQ是等腰三角形，求直线MN的方程．K．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=ay（a＞0），斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，且抛物线上一点M(2
    		2
     ， m) (m＞1)    到点F的距离是3．
    （Ⅰ）求a的值；
    （Ⅱ）若k＞0，且
    AF
    =3
    FB
    ，求k的值．
    （Ⅲ）过A，B两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q，求证：
    AB
     • 
    FQ
    =0    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=2my（m＞0）和直线l：y=x-m没有公共点（其中m为常数）．动点P是直线l上的任意一点，过P点引抛物线C的两条切线，切点分别为M、N，且直线MN恒过点Q（1，1）．
    （1）求抛物线C的方程；
    （2）已知O点为原点，连接PQ交抛物线C于A、B两点，求
    |PA|
    |
    PB|
    -
    |
    QA|
    |
    QB|
    的值．

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