Question

【题目】已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+1，

令f′（x）＜0得：0＜x＜ ，

∴f（x）的单调递减区间是（0， ），

令f'（x）＞0得：x＞ ，

∴f（x）的单调递增区间是（ ，+∞）

（2）解：∵g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1，

∵x＞0，

∴a≥lnx﹣ x﹣ 恒成立①，

设h（x）=lnx﹣ ﹣ ，

则h′（x）= ﹣ + =﹣

令h′（x）=0得：x=1，x=﹣ （舍去）

当0＜x＜1时，h′（x）＞0；

当x＞1时，h'（x）＜0

∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2，

若①恒成立，则a≥﹣2，

即a的取值范围是[﹣2，+∞）

【解析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）（2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣ x﹣ 恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．