Question

如图, 直线y=x与抛物线y=x²－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

（1）求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于线段AB下方

（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 (1) Q(5,－5) （2）ΔOPQ的面积最大值为30

【解析】试题分析：（1） 解方程组 得 或

即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由k_AB=,直线AB的垂直平分线方程

y－1=-2 (x－2).  令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．

 (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x²－4).∵点P到直线OQ的距离

d==,,∴S_ΔOPQ==.

  ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.

  ∵函数y=x²+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,  ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30．

考点：抛物线与直线的相交弦问题。

点评：本题（1）比较简单，用一般解决相交弦问题的方法，联立直线与抛物线方程求解即可。(2) 中要考虑到P为抛物线上位于线段AB下方的点，故得－4≤x<4－4或4－4<x≤8.转化为求二次函数在闭区间上的最值问题来求。