Question

20．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）满足f（x）=-f（x+$\frac{π}{2}$），对任意x都有f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）=3，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． -2

Answer 1

分析 由题意可得f（x）的最小正周期为π，由此求得ω，根据当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取最大值且最大值为3，求得φ=$\frac{π}{6}$，由此可得g（x）的解析式，字啊利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的最大值．

解答 解：由f（x）=-f（x+$\frac{π}{2}$）知，f（x+π）=-f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x），所以f（x）的最小正周期为π，
所以，$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，由对任意x都有f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）=3知，当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取最大值且最大值为3，
所以，$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，且A=3，∴x=2kπ+$\frac{π}{6}$．
结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$．
所以，$g（x）=2cos（2x+\frac{π}{6}）$，因为x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
由余弦函数图象知${g_{max}}（x）=2cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，是基础题．