Question

13．已知n∈N^*，设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-ny≥0\\ y≤2\\ x≤2n\\ y≥0\end{array}\right.$所表示的平面区域为D_n，记D_n内整点的个数为a_n（横、纵坐标均为整数的点称为整点）．
（Ⅰ）通过研究a₁，a₂，a₃的值的规律，求a_n的通项公式；   
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{{a_1}^2}}+\frac{1}{{{a_2}^2}}+\frac{1}{{{a_3}^2}}+…+\frac{1}{{{a_n}^2}}＜\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）画出当n=1，2，3时，平面区域为D_n，求出a₁，a₂，a₃的值，归纳可得a_n的通项公式；
（Ⅱ）利用分析法，合理放缩式子，再由裂项相消法，可证得结论．

解答 解：∵不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-ny≥0\\ y≤2\\ x≤2n\\ y≥0\end{array}\right.$所表示的平面区域为D_n，
当n=1，2，3时，平面区域为D_n如下图所示：

则a₁=1+2+3=6，
a₂=1+3+5=9，
a₃=1+4+7=12-------（3分）
即①y=2时的整点个数为1，y=2与x-ny=0的交点为2n，所以y=0的整点个数为2n+1
②y=1时的整点个数为n+1，y=1 x-ny=0的交点为n，所以y=0的整点个数为n+1
③y=0时的整点个数为2n+1
所以a_n=1+（n+1）+（2n+1）=3（n+1）-------------------------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 要证$\frac{1}{{{a_1}^2}}+\frac{1}{{{a_2}^2}}+\frac{1}{{{a_3}^2}}+…+\frac{1}{{{a_n}^2}}＜\frac{1}{12}$，
即证：$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{3}{4}$-------------（8分）
$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$------------------------------（10分）
=$\frac{1}{4}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{3}{4}-\frac{1}{n+1}＜\frac{3}{4}$-------------（12分）

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．