Question

设f（x）=（x²+ax+a）e^-x，试确定实数a的值，使f（x）的极小值为0．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：令f′①（x）=0可得x₁=0，x₂=2-a，分别讨论2-a 与0的大小，从而判断函数的单调性，进一步求出函数的极小值，从而求a的值

解答： 解：由于f（x）=（x²+ax+a）e^-x，所以f'（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax+a）e^-x=-e^-x[x²+（a-2）x]．
令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
当a=2时，f'（x）≤0恒成立，此时f（x）无极值．
所以2-a≠0．
①当2-a＞0，即a＜2时，f'（x）和f（x）2的变化情况如下表1：

x	（-∞，0）	0	（0，2-a）	2-a	（2-a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

此时应有f（0）=0，所以a=0＜2；
②当2-a＜0，即a＞2时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表2：

x	（-∞，2-a）	2-a	（2-a，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

此时应有f（2-a）=0，即[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=0，
而e^a-2≠0，所以应有（2-a）²+a（2-a）+a=0⇒a=4＞2．
综上可知，当a=0或4时，f（x）的极小值为0．

点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值，考查用导数的方法研究函数的单调性、极值．解题中渗透了分类讨论、数形结合、方程与函数的思想及转化的思想．