Question

6．若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，BC=2，则$\frac{AB}{AC}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{21}}{7}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$]．

Answer 1

分析 作AD⊥BC，交BC于D，设BD=x，则AD=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{{x}^{2}+3}$，AC=$\sqrt{{x}^{2}-4x+7}$，从而$\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}-4x+7}}$，设f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}-4x+7}$，（0≤x≤2），则${f}^{'}（x）=\frac{16-4（x-1）^{2}}{（{x}^{2}-4x+7）^{2}}$，利用导数性质能求出$\frac{AB}{AC}$的取值范围．

解答 解：作AD⊥BC，交BC于D，设BD=x，
则AD=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{{x}^{2}+3}$，AC=$\sqrt{3+（2-x）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-4x+7}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}-4x+7}}$，
设f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}-4x+7}$，（0≤x≤2），
则${f}^{'}（x）=\frac{16-4（x-1）^{2}}{（{x}^{2}-4x+7）^{2}}$，
当0≤x≤2时，f′（x）≥0恒成立，
∴x=0时，f（x）取最小值$\frac{3}{7}$，x=2时，f（x）取最大值$\frac{7}{3}$，
∴$\frac{AB}{AC}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{21}}{7}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{21}}{7}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$]．

点评 本题考查三角形中两线段比值的求法，考查构造法、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．