Question

16．已知函数f（x）=a^x+k•a^-x（0＜a＜1）为R上的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）指出函数f（x）的单调性（不需要证明），并求使不等式f（4^x-m•2^x）+f（1-2^x）＜0恒成立的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义：对任意x∈R，f（-x）=-f（x），或性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由0＜a＜1，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（4^x-m•2^x）＜-f（1-2^x），运用f（x）的奇偶性和单调性，化为4^x-m•2^x＞2^x-1，再由参数分离和基本不等式，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意，对任意x∈R，f（-x）=-f（x），
即a^-x+ka^x=-a^x-ka^-x，
即k（a^x+a^-x）+（a^x+a^-x）=0，（k+1）（a^x+a^-x）=0，
因为x为任意实数，所以k=-1． 
解法二：因为f（x）是定义域为R的奇函数，
所以f（0）=0，即1+k=0，即k=-1．
当k=-1时，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），f（x）是奇函数．
所以k的值为-1．
（2）由（1）f（x）=a^x-a^-x，
当0＜a＜1时，y=a^x是减函数，y=-a^-x也是减函数，所以f（x）=a^x-a^-x是R上的减函数．
由f（4^x-m•2^x）+f（1-2^x）＜0，所以f（4^x-m•2^x）＜-f（1-2^x），
因为f（x）是奇函数，所以f（4^x-m•2^x）＜f（2^x-1），
因为f（x）是R上的减函数，所以4^x-m•2^x＞2^x-1，
即m+1＜2^x+2^-x对任意x∈R成立，
由2^x+2^-x≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2，当且仅当x=0时，取得等号，
即有2^x+2^-x的最小值为2，
即m+1＜2，即m＜1，
所以，m的取值范围是（-∞，1）．

点评 本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．