Question

15．已知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个的k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，得到新数列{b_n}，设S_n、T_n分别是{a_n}﹑{b_n}前n项和．
（Ⅰ）a₁₀是数列{b_n}的第几项？
（Ⅱ）是否存在正整数m，使T_m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若c_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1）+$\sqrt{2}$，求证：数列{c_n}中任意不同的三项都不可能为等比数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为在数列{b_n}中，对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间有2^k-1个2，所以a₁₀在数列{b_n}中的项数为：10+1+2+4+…+2⁸ 故问题得解；
（Ⅱ）先根据条件求出a_m及其前面所有项之和的表达式2ⁿ+n²-2，再根据2¹⁰+10²-2=1122＜2010＜2¹¹+11²-2，即可找到满足条件的m的值； 
（Ⅲ）假设数列{a_n}中存在三项a_p，a_q，a_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则根据等比中项的性质可知a_q²=a_pa_r．把a_p，a_q，a_r代入求得（q2-pr）+（2q-p-r）$\sqrt{2}$=0进而推断出$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}-pr=0}\\{2q-p-r=0}\end{array}\right.$，求得p=r，与p≠r矛盾．进而可知假设不成立．

解答 （Ⅰ）解：在数列{b_n}中，对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间有2^k-1个2，
∴a₁₀在数列{b_n}中的项数为：10+1+2+4+…+2⁸=10+$\frac{1-29}{1-2}$=521，
∴a₁₀是数列{b_n}的第521项；
（Ⅱ）解：a_n=1+（n-1）•2=2n-1，在数列{b_n}中，a_n及其前面所有项的和为：[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+4+…+2^n-1）=2ⁿ+n²-2
∵2¹⁰+10²-2=1122＜2008＜2¹¹+11²-2
且2008-1122=886=443×2
∴存在m=521+443=964，使得B_m=2008；
（Ⅲ）证明：a_n=1+（n-1）•2=2n-1，c_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1）+$\sqrt{2}$=n+$\sqrt{2}$，
假设数列{a_n}中存在三项a_p，a_q，a_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则a_q²=a_pa_r．
即（q+$\sqrt{2}$）²=（p+$\sqrt{2}$）（r+$\sqrt{2}$）．
∴（q2-pr）+（2q-p-r）$\sqrt{2}$=0
∵p，q，r∈N^*，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}-pr=0}\\{2q-p-r=0}\end{array}\right.$，
∴（$\frac{p+r}{2}$）²=pr，∴（p-r）²=0，
∴p=r．
与p≠r矛盾．
∴数列{a_n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

点评 本题综合考查了数列与函数的知识．解决第（2）问的关键在于求出a_m及其前面所有项之和的表达式，有一定的难度．