Question

8．如图，半径为$\frac{9}{2}$的△ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，AD⊥CE于点D，AD=1．
（1）求证：△ABC相似于△ACD；
（2）求AC的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知可得△ABC，△ACD为直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC=∠ACD，从而可证△ABC∽△ACD．
（2）由（1）可得△ABC∽△ACD，利用相似三角形的性质可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，进而即可解得AC的值．

解答 解：（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，
∴△ABC直角三角形，
∴△ACD为直角三角形，∵直线CE与圆O相切于点C
∴∠ABC=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD，得证．
（2）∵由（1）可得△ABC∽△ACD．
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴AC²=AB•AD，
∵AB=9，AD=1，
∴AC²=9，解得AC=3．

点评 本题主要考查了相似三角形，直线，圆等初等几何知识，考查了逻辑思维能力，运算能力，属于中档题．