Question

13．如图所示，△ABC内接于圆O，D是$\widehat{BAC}$的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．
（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB²-DA²的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．
（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD²-DA²=AF²-BF²，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF-EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF²=FE•FA，得AB-AC=AF²-BF²，进而可求BD²-DA²=AB•AC=6．

解答 （本题满分为10分）．
解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，
则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．
因为AF平分∠BAC，
所以$\widehat{BF}=\widehat{FC}$，
所以∠FBE=∠BAE，（2分）
所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°-∠BEG=90°，
所以O′B⊥BF，
所以BF是△ABE外接圆的切线…（5分）
（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，
所以DF是圆O的直径，
因为BD²+BF²=DF²，DA²+AF²=DF²，
所以BD²-DA²=AF²-BF²．（7分）
因为AF平分∠BAC，
所以△ABF∽△AEC，
所以$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AF}{AC}$，
所以AB•AC=AE•AF=（AF-EF）•AF，
因为∠FBE=∠BAE，
所以△FBE∽△FAB，从而BF²=FE•FA，
所以AB-AC=AF²-BF²，
所以BD²-DA²=AB•AC=6…（10分）

点评 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，属于中档题．