Question

1．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=$\sqrt{2}$，AC⊥BC，AC=BC=2，D在棱PB上，且PD=λPB（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）若AD⊥PC，求λ的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角B-AD-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间坐标系，求出AD和PC对应的向量，利用直线垂直和向量数量积的关系，利用向量法建立方程关系即可求λ的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求出平面的法向量先求出二面角的余弦值即可求二面角B-AD-C的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）建立以O为坐标原点，OB，OA，OD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
则$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
∵PD=λPB，∴$\overrightarrow{PD}$=λ$\overrightarrow{PB}$=（2λ，2λ，-$\sqrt{2}$λ），
则$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PD}$=（2λ，2λ，$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ），
∵AD⊥PC，∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{PC}$=0，即（2λ，2λ，$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ）•（0，2，-$\sqrt{2}$）=4λ-2+2λ=0，
得λ=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）∵λ=$\frac{1}{3}$，∴$\overrightarrow{AD}$=（2λ，2λ，$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ）=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），则D（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
设面CAD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
即$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$y+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DC}$=2y=0，
设x=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
取AB的中点O，连接OC，
∵AC=BC=2，∴CO⊥AB，
∵PA⊥平面PAB，
∴平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{OC}$=（-1，1，0）
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{3}{2}}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即二面角B-AD-C的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线垂直及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．