Question

已知函数f(x)=

|lg(-x)|，x＜0 x3-6x+4，x≥0

若关于x的函数y=f²（x）-bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（　　）

• A．（2，+∞）
• B．[2，+∞）
• C．(2，

  17

  4

  )
• D．(2，

  17

  4

  ]

Answer 1

分析：方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数k，有2个不同的k，再根据函数
对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，
只有满足条件的k在开区间（0，4]时符合题意．再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案．

解答：解：∵函数f(x)=

|lg(-x)|，x＜0 x3-6x+4 = (x-2)(x2+2x-2)，x≥0

，作出f（x）的简图，如图所示：
由图象可得当f（x）在（0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x与f（x）的值对应．
再结合题中函数y=f²（x）-bf（x）+1 有8个不同的零点，
可得关于k的方程 k² -bk+1=0有两个不同的实数根k₁、k₂，且0＜k₁≤4，0＜k₂≤4．
∴应有

△ =b2-4＞0 0＜ b 2 ＜4 0-b×0+1＞0 16-4b+1≥0

，解得 2＜b≤

17

4

，
故选D．

点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合
是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合
的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．