Question

已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC．
（1）求角B的大小；
（2）若c=3a，求tanA的值．

Answer 1

解：（1）∵sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC，
∴根据正弦定理，得a²+c²-b²=ac
因此，cosB==
∵B∈（0，π），∴B=，即角B的大小为；
（2）∵c=3a，∴根据正弦定理，得sinC=3sinA
∵B=，
∴sinC=sin（A+B）=sin（A+）=3sinA
可得sinA+cosA=3sinA，得cosA=sinA
两边都除以cosA，得=tanA，所以tanA=．
分析：（1）根据正弦定理，将已知等式化简得a²+c²-b²=ac，结合余弦定理算出cosB=，从而可得角B的大小为；
（2）由c=3a结合正弦定理，得sinC=3sinA，而sinC=sin（A+B），将B=代入展开并化简得cosA=sinA，最后根据同角三角函数的商数关系，可算出tanA的值．
点评：本题给出三角形的三个角的正弦的关系式，求角B的大小并在c=3a的情况下求tanA的值．着重考查了利用正余弦定理解三角形、两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．