Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC，
（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离。

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA， ∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AG， 又PD⊥AG， ∴AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F， 因面PEC⊥面PCD， ∴EF⊥平面PCD， 又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD， ∴EF∥AG， 又AG面PEC，EF面PEC， ∴AG∥平面PEC；
（Ⅲ）解：由AC∥平面PEC知 A，G两点到平面PEC的距离相等， 由（Ⅱ）知A，E，F，G四点共面， 又AE∥CD， ∴AE∥平面PCD，∴AE∥GF， ∴四边形AEFG为平行四边形， ∴AE=GF，PA=AB=4，G为PD中点，， ∴FG=2， ∴AE=FG=2， ∴， 又EF⊥PC，EF=AG=， ∴， 又， ∴， 即， ∴h=， ∴G点到平面PEC的距离为。