Question

6．已知函数f（x）=$\frac{nx+1}{2x+m}$（m，n为常数，mn≠2），且f（x）•f（$\frac{1}{x}$）=k．
（1）求实数k的值；
（2）若f[f（1）]=$\frac{k}{2}$，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）•f（$\frac{1}{x}$）=k．建立方程关系即可求实数k的值；
（2）若f[f（1）]=$\frac{k}{2}$，求出m，n的值即可求函数f（x）的解析式．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{nx+1}{2x+m}$，
∴f（x））•f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{nx+1}{2x+m}$•$\frac{\frac{n}{x}+1}{\frac{2}{x}+m}$=$\frac{nx+1}{2x+m}$•$\frac{n+x}{2+mx}$=k，
即（nx+1）（n+x）=k（2x+m）（2+mx），
即n²x+n+nx²+x=k（4x+2m+2mx²+m²x）=4kx+2mk+2mkx²+km²x，
即nx²+（n²+1）x+n=2mkx²+（km²+4k）x+2mk，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=2mk}\\{{n}^{2}+1=k{m}^{2}+4k}\\{n=2mk}\end{array}\right.$，
即4m²k²+1=km²+4k，
即$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}=k}\\{1=4k}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k=0或k=\frac{1}{4}}\\{k=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
则k=$\frac{1}{4}$；
（2）当k=$\frac{1}{4}$，n=$\frac{m}{2}$，即m=2n，
则f（x）=$\frac{nx+1}{2x+m}$=$\frac{nx+1}{2x+2n}$，
若f[f（1）]=$\frac{k}{2}$，
即f[f（1）]=$\frac{k}{2}$=$\frac{1}{8}$，
∵f（1）=$\frac{n+1}{2+2n}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}n+1}{2×\frac{1}{2}+2n}$=$\frac{\frac{1}{2}n+1}{1+2n}$=$\frac{1}{8}$，
即4n+8=1+2n，
即2n=-7，
解得n=-$\frac{7}{2}$．
则f（x）=$\frac{nx+1}{2x+2n}$=$\frac{-\frac{7}{2}x+1}{2x-\frac{7}{2}×2}$=$\frac{-7x+2}{4x-14}$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．