Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．
（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

分析：（1）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）-f（x）=2x，化简后根据多项式相等，各系数相等即可求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；
（2）不等式恒成立即为把不等式变为x²-3x+1＞m，令g（x）等于x²-3x+1，求出g（x）在区间[-1，1]上的最大值，即可得到m的取值范围，求最大值的方法是：把g（x）配方成二次函数的顶点形式，找出对称轴，经过判断发现对称轴在区间内，又二次函数的开口向上，所以得到g（x）的最大值为g（1），代入g（x）的解析式即可得到g（1）的值，让m小于等于g（1）即可求出m的范围；
（3）把x=2t+a代入f（x）的解析式中即可表示出g（t）的函数关系式，由二次函数求对称轴的方法表示出g（t）的对称轴，根据对称轴大于等于0和小于0，分两种情况考虑，分别画出相应的函数图象，根据函数的图象即可分别得到g（t）的最大值，并求出相应t的范围，联立即可得到g（t）最大值与t的分段函数解析式．

解答：解：（1）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0）代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，
∴

a=1 b=-1 c=1

，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x²-3x+1＞m恒成立；
令g(x)=x2-3x+1=(x-

3

2

)2-

5

4

，
x∈[-1，1]，
则对称轴：x=

3

2

∉[-1，1]，
则g（x）_min=g（1）=-1，
∴m＜-1；
（3）g（t）=f（2t+a）=4t²+（4a-2）t+a²-a+1，t∈[-1，1]
对称轴为：t=

1-2a

4

，
①当

1-2a

4

≥0时，即：a≤

1

2

；如图1：
g（t）_max=g（-1）=4-（4a-2）+a²-a+1=a²-5a+7
②当

1-2a

4

＜0时，即：a＞

1

2

；如图2：
g（t）_max=g（1）=4+（4a-2）+a²-a+1=a²+3a+3，
综上所述：g(t)max=

a2-5a+7 a2+3a+3

a≤ 1 2 a＞ 1 2

．

点评：此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质及不等式恒成立时所满足的条件，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．