Question

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{7}$，b+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2cosAsinA=sinA，从而可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．
（2）由已知及余弦定理可得7=25-3bc，解得bc=6，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知及正弦定理可得：2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…2分
可得：2cosAsin（B+C）=sinA，
解得：2cosAsinA=sinA，即：cosA=$\frac{1}{2}$，…5分
由于：A∈（0，π），
所以：A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）由已知及余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccsoA=（b+c）²-2bc（1+cosA），…7分
因为：a=$\sqrt{7}$，b+c=5，cosA=$\frac{1}{2}$，
所以：7=25-3bc，解得：bc=6，…10分
所以：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．